CSAPP 第二章 信息的表示和处理

信息的表示和处理

• 信息的表示和处理
  • 编码
    • 无符号(Unsigned)数的编码
    • 补码(Two's-complement)数的编码
    • 其他编码方式
      • 反码(Ones'Complement)编码
      • 原码(Sign-Magnitude)编码
    • 无符号数与补码数的转换
      • 补码转无符号
      • 无符号转补码
    • 拓展一个数字的位表示
      • 无符号的拓展
      • 补码数的拓展
    • 截断数字
      • 截断无符号数
      • 截断补码数
  • 整数运算
    • 右移方式
    • 无符号加法
      • 无符号加法溢出的检测
      • 无符号的非
    • 补码加法
      • 补码加法溢出的判断
      • 补码的非
        • 快速求补码非的办法
    • 无符号乘法
    • 补码乘法
    • 乘以常数
      • 乘以 2 的次幂
      • 乘以任意常数
    • 除以 2 的幂
      • 取整的描述
      • 无符号除法
      • 补码除法
  • 浮点数
    • 表示
      • Normal
      • Denormal
      • INF & NaN
    • 范围
    • 舍入
      • 向上舍入
      • 向下舍入
      • 向零舍入
      • 向偶数舍入
    • 浮点运算
    • 类型转换

编码

无符号(Unsigned)数的编码

设一个整数数据有 \(\omega\) 位，我们可以将其写成位向量 \(\vec x\) 来表示该向量，或者将其每一位都写出来

\[ \vec x = [x_{\omega -1},x_{\omega -2},\cdots, x_1,x_0] \]

对于向量 \(\vec x = [x_{\omega -1},x_{\omega -2},\cdots, x_1,x_0]\) ，有：

\[ B2U_{\omega}(\vec x)=\sum_{i=0}^{\omega - 1}x_i 2^{i} \]

补码(Two's-complement)数的编码

对于向量 \(\vec x = [x_{\omega -1},x_{\omega -2},\cdots, x_1,x_0]\) ，有：

\[ B2T_{\omega}(\vec x)=-x_{\omega - 1}2^{\omega -1}+\sum_{i=0}^{\omega - 2}x_{i}2^{i} \]

对于补码数的编码，其实就是无符号数的最高位变为负数，其余都是一样的

我们以 \(4\) 位的无符号数与补码数为例，讨论二者的表示范围：

对于 \(4\) 位的无符号数的范围，有：\(0\sim 15\)

对于 \(4\) 位的补码数的范围，有：\(-8\sim 7\)

对于补码数而言，负数的个数有 \(8\) 个，非负数的个数也有 \(8\) 个，这导致了：\(|TMin_{\omega}|=|TMax_{\omega}+1|\)

其他编码方式

反码(Ones'Complement)编码

\[ B2O_{\omega}(\vec x)=-x_{\omega - 1}(2^{\omega -1}-1)+\sum_{i=0}^{\omega - 2}x_{i}2^{i} \]

反码编码只是在补码的基础上将最高位的权重从 \(-2^{\omega -1}\) 变为 \(-(2^{\omega}-1)\)，其余都跟补码一样

原码(Sign-Magnitude)编码

\[ B2S_{\omega}(\vec x)=(-1)^{x_{\omega -1}}+\sum_{i=0}^{\omega - 2}x_{i}2^{i} \]

原码的最高位为符号位，其余位来决定该数的大小

这两种编码都有一个问题是，对于数字 \(0\) 会有两种解释方式

在原码中 \([00\cdots 0]\) 被解释为 \(+0\)，\([10\cdots 0]\) 被解释为 \(-0\)

在反码中 \([00\cdots 0]\) 被解释为 \(+0\)，\([11\cdots 1]\) 被解释为 \(-0\)

实际上，浮点数的编码方式就是才有原码编码

无符号数与补码数的转换

对于补码和无符号数之间的转换，底层的位值表示是不变的，只是改变了解释这些位的方式

补码转无符号

\[ T2U_{\omega}(\vec x) = \left \{ \begin{matrix} x+2^{\omega}, & x \lt 0 \\ x, & x \ge 0 \end{matrix}\right. \]

无符号转补码

\[ U2T_{\omega}(\vec x) = \left \{ \begin{matrix} x , & x\le TMax \\ x-2^{\omega} ,& x \gt TMax \end{matrix}\right. \]

拓展一个数字的位表示

我们主要讨论从一个较小的类型转换到较大的类型

无符号的拓展

无符号的拓展被称为零拓展(zero extention)，只需要简单的在开头添加 \(0\) 即可，其原理如下：

定义长度为 \(\omega\) 的位向量 \(\vec u=[u_{\omega -1},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0]\) 和长度为 \(\omega '\) 的位向量 \(\vec {u'}=[0,0,\cdots ,0,u_{\omega -1},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0]\) ，其中 \(\omega '\gt \omega\)

此时有：\(B2U(\vec{u})=B2U(\vec{u'})\)

补码数的拓展

补码数的拓展被称为符号拓展(sign extention)，即在前面添加最高有效位

最高有效位为 \(0\) ，那么添加 \(0\) ；最高有效位为 \(1\) ，那么添加 \(1\)

定义长度为 \(\omega\) 的位向量 \(\vec u=[u_{\omega -1},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0]\) 和长度为 \(\omega '\) 的位向量 \(\vec {u'}=[{\color{orange}u_{\omega -1},u_{\omega -1},\cdots ,u_{\omega -1}},u_{\omega -1},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0]\) ，其中 \(\omega '\gt \omega\)

我们有：\(B2T(\vec{u})=B2T(\vec{u'})\)

推导：

我们只需证明：\(B2T([{\color {orange}u_{\omega -1}},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0])=B2T([{\color {orange}u_{\omega -1},u_{\omega -1}},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0])\) ，便可以说明对于任意位数的符号拓展，都是满足条件的

我们按照补码数的定义展开，有：

\[ \begin{align*} B2T([{\color {orange}u_{\omega -1},u_{\omega -1}},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0])&=-{\color {orange}u_{\omega -1}}2^{\omega}+\sum_{i=0}^{\omega -1}u_{i}2^{i}\\ &=-{\color {orange}u_{\omega -1}}2^{\omega}+{\color {orange}u_{\omega -1}}2^{\omega-1}+\sum_{i=0}^{\omega-2}u_i2^i\\ &=-{\color {orange}u_{\omega -1}}2^{\omega-1}+\sum_{i=0}^{\omega-2}u_i2^i\\ &=B2T([{\color {orange}u_{\omega -1}},u_{\omega -2},\cdots ,u_1,u_0]) \end{align*} \]

本质上是使用属性：\(2^{\omega}-2^{\omega-1}=2^{\omega-1}\)

截断数字

截断无符号数

设 \(\vec{x}\) 表示位向量 \([x_{\omega-1}, x_{\omega-2}, \cdots x_1,x_0]\)，\(\vec{x'}\)为其截断为 \(k\) 位的结果：\(\vec{x'}=[x_{k-1},x_{k-2},\cdots,x_1,x_0]\)，我们有：\(x'=x\bmod 2^k\)

\[ \begin{align*} B2U_{\omega}([x_{\omega-1}, x_{\omega-2}, \cdots x_1,x_0])\bmod 2^k&=(\sum_{i=0}^{\omega-1}x_i2^{i})\bmod 2^k\\ &=(\sum_{i=0}^{k-1}x_i2^i)\bmod 2^k\\ &=B2U_{\omega}([x_{k-1},x_{k-2},\cdots,x_1,x_0]) \end{align*} \]

本质上是对于任意的 \(i\ge k\)，都有：\(2^i\bmod 2^k=0\)

截断补码数

设 \(\vec{x}\) 表示位向量 \([x_{\omega-1}, x_{\omega-2}, \cdots x_1,x_0]\)，\(\vec{x'}\)为其截断为 \(k\) 位的结果：\(\vec{x'}=[x_{k-1},x_{k-2},\cdots,x_1,x_0]\)，我们有：\(x'=U2T(x\bmod 2^k)\)

本质上是先将位向量截断为 \(k\) 位，然后在从补码的角度诠释位表示

整数运算

右移方式

右移方式有两种：逻辑右移与算术右移

前者会直接补 \(0\) ，后者会补最高有效位；如果最高有效位为 \(0\) ，那么便补 \(0\) ，如果最高有效位为 \(1\) ，那么便补一

对于无符号数，右移均为逻辑右移

对于补码数，右移均为算术右移

无符号加法

设 \(0\le x,y\le 2^{\omega}\)，有：

\[ \begin{align*} x+_{\omega}^{u}y=\left \{ \begin{array}{l} x+y,\quad &x+y\le 2^{\omega}\qquad \text{正常}\\ x+y-2^{\omega},\quad &x+y\ge 2^{\omega}\qquad \text{溢出} \end{array}\right. \end{align*} \]

两个 \(\omega\) 位的无符号数相加，其结果可能需要 \(\omega+1\) 位来表示

若两个 \(\omega\) 位的无符号数相加，如果加和会自动截断为 \(\omega\) 位

无符号加法溢出的检测

设 \(0\le x,y\le UMax_{\omega}\) ，令 \(s=x+_{\omega}^{u}y\) ，当且仅当 \(s\lt x\) （或等价条件 \(s\lt y\)）成立时，发生了溢出

代码判断：

//未发生溢出时返回true，发生溢出时返回false
bool uadd_ok(unsigned x, unsigned y)
{
    unsigned sum = x + y;
    return sum >= x;
}

无符号的非

设 \(0\le x\lt 2^{\omega}\) ，其 \(\omega\) 位的逆元 \(-_{\omega}^{u}x\) 有下式给出：

\[ \begin{align*} -_{\omega}^{u}x&=\left \{ \begin{matrix} &x,&x=0\\ &2^{\omega}-x,&x\gt 0 \end{matrix} \right. \end{align*} \]

求无符号的非，本质上是对于一个无符号数 \(x\) ，找到一个 \(y\) 使得：

\[ (x+_{\omega}^{u}y)\bmod 2^{\omega}=0 \]

因此直接在 \(x\) 的基础上加一个使其溢出的数即可

补码加法

设 \(-2^{\omega-1}\le x,y\le 2^{\omega-1}-1\) ，有：

\[ \begin{align*} x+_{\omega}^{t}y=\left \{ \begin{array}{l}x+y-2^{\omega},&x+y\ge 2^{\omega-1}\quad \text{正溢出}\\ x+y,&-2^{\omega}\le x+y\le 2^{\omega-1}-1 \quad \text{正常}\\ x+y+2^{\omega},&x+y\lt -2^{\omega-1} \quad \text{负溢出} \end{array}\right. \end{align*} \]

对于 \(\omega\) 位的补码数可表示的最小值为 \(-2^{\omega-1}\) ，可表示的最大值为 \(2^{\omega-1}-1\)

因此如果两个 \(\omega\) 位的补码数相加，其结果可能需要 \(\omega+1\) 位来表示

如果结果大于 \(2^{\omega-1}-1\) ，则发生正溢出，\(\omega-1\) 位的值由 \(0\) 变为 \(1\)，数值上相当于加和结果减去 \(2\times2^{\omega-1}=2^{\omega}\)

如果结果小于 \(-2^{\omega}\) ，则发生负溢出，\(\omega\) 位的会溢出为 \(1\) ，由于我们需要将该位舍去，因此数值上相当于加和结果加上 \(2^{\omega}\)

补码加法溢出的判断

设 \(TMin\le x,y\le TMax\) ，令 \(s=x+_{\omega}^{t}y\)

当且仅当 \(x\gt 0,y\gt 0\) 而 \(s\le 0\) 时，发生正溢出

当且仅当 \(x\lt 0,y\lt 0\) 而 \(s\ge 0\) 时，发生负溢出

代码判断：

//返回-1表示负溢出，1表示正溢出，0表示正常
int tadd_ok(int x, int y)
{
    int sum = 0;
    if(x < 0 && y < 0 && sum >= 0) return -1;
    else if(x > 0 && y > 0 && sum <= 0) return 1;
    else return 0;
}

该程序不能写成：

int tadd_ok(int x, int y)
{
    int sum = x + y;
    return (sum - x == y) && (sum - y == x);
}

这是因为，无论补码加法是否溢出，sum -x == y 都始终成立（补码加法是模数加法，具有循环的特性）

如果需要判断 \(x-y\) 是否发生溢出，不能写成：

int tsub_ok(int x, int y)
{
    return tadd_ok(x, -y);
}

当 \(y\) 取除 \(TMin\) 以外的任何值时，都是满足条件的，但当 \(y=TMin\) 时，此函数做出了与我们期望相反的行为

当 \(y=TMin\) 时，该函数认为只要 \(x\ge 0\) 时就不会发生溢出，只要 \(x\lt 0\)时就会发生溢出，但实际与此刚好相反

当 \(y=TMin\) 时，\(-y=TMin\) ，若 \(x\ge 0\) ，其实际计算结果为正数，但位表示却为负数，因此发生了溢出；同理，若 \(x;t 0\) ，其实际计算结果依旧为正数，在位表示上，溢出的一位会被舍去，而符号位为 \(0\) ，即位表示为正数，因此没有发生溢出

正确写法：

//溢出返回1，未溢出返回0
int tsub_ok(int x, int y)
{
    int sub = x - y;
    return (x > 0 && y < 0 && sub < 0) || (x < 0 && y > 0 && sub > 0);
}

补码的非

设 \(TMin\le x\le TMax\) ，\(x\) 的补码非 \(-_{\omega}^{t}x\) 由下式给出：

\[ \begin{align*} -_{\omega}^{t}x=\left \{ \begin{matrix} &TMin,&x=TMin\\ &-x,&x\gt TMin \end{matrix}\right. \end{align*} \]

补码的非本质上同无符号的非一样，都是找一个数 \(y\) 使得 \((y+_{\omega}^{t}x)\bmod 2^{\omega}=0\) ，本质上都是模数加法的溢出

在位表示上，对于任意值 \(x\) ，\(\sim x+1\) 所求得的值就是 \(x\) 的非，即 \(-x\)

快速求补码非的办法

在 \(x\) 的二进制表示中，设 \(k\) 为最右边的 \(1\) 的位置，即 \(x\) 的位表示为 \([x_{\omega-1},x_{\omega-2},\cdots,x_{k+1},1,0,\cdots,0]\) （只要 \(x\) 不为 \(0\) 就总能找到这样的 \(k\)）

这个值的非的位表示为 \([\sim x_{\omega-1},\sim x_{\omega-2},\cdots,\sim x_{k+1},1,0,\cdots,0]\)

也就等同于，将 \(k\) 的左边所有位均取反

无符号乘法

对于 \(0\le x,y\le UMax\) ，无符号乘法结果由下式给出：

\[ x*_{\omega}^{u}y=(x*y)\bmod 2^{\omega} \]

两个 \(\omega\) 位的数相乘，结果可能需要 \(2\omega\) 位才能表示，因此无符号程序会将结果截断为 \(\omega\) 位

补码乘法

对于 \(TMin\le x,y\le TMax\) ，补码乘法结果由下式给出：

\[ x*_{\omega}^{t}y=U2T((x*y)\bmod 2^{\omega}) \]

其实就是将乘法结果截断为 \(\omega\) 位，然后再从补码的角度解释

乘以常数

乘以 2 的次幂

我们先讨论乘以 \(2\) 的次幂的情况

无论是无符号数还是补码数，乘以 \(2^k\) 相当于将位表示左移 \(k\) 个单位，然后再对其进行截断，即：

\[ x*_{\omega}^{u}2^k=B2U((x*2^k)\bmod 2^{\omega})\\ x*_{\omega}^{t}2^k=U2T((x*2^k)\bmod 2^{\omega}) \]

乘以任意常数

对于乘以任意常数 \(K\) 的情况，我们将 \(K\) 的二进制表示写出来：\([(0\cdots 0)(1\cdots 1)(0\cdots 0)]\) ，必然会是连续的 \(0,1\) 交替的情况

例如，\(14\) 可以写为 \([(0\cdots0)(111)(0)]\)，考虑位位值从 \(n\) 到 \(m\) 的一组连续的 \(1\) （\(n\ge m\) ，且二者均从 \(0\) 开始）。（对 \(14\) 来说，\(n=3,m=1\)）我们可以用以下两种方式来将乘以任意常数 \(K\) 转换成加法、减法与移位操作：

• \((x\ll n)+(x\ll (n-1))+\cdots+(x\ll m)\)

• \((x\ll (n + 1))-(x\ll m)\)

问题：如果加法、减法、移位所需的时间相同，那么当 \(n,m\) 取不同值时，编译器该如何决定选择哪一种操作？

分类讨论：

如果 \(n=m\) ，那么第一种只需要一次移位，第二种需要一次减法和两次移位

如果 \(n=m+1\) ，那么第一种需要两次移位和一次加法，第二种需要两次移位和一次减法

如果 \(n\gt m+1\) ，那么第二种只会需要两次移位和一次减法，第一种需要 \(n-m+1\) 次移位和 \(n-m\) 次加法

综上，我们有如下结论：

• 若 \(n=m\) ，选第一种
• 若 \(n=m+1\) ，哪种都行
• 若 \(n\gt m+1\)，选第二种

除以 2 的幂

取整的描述

对于除法，我们期望其结果总是舍去小数，这一点对正数和负数我们都期望是成立的

例如，我们期望：\(5\div 2=2,\ -5\div 2=-2\)

这种舍入我们称为向零舍入，即直接舍去小数位

为了更便于描述该过程，我们需要引入两个符号：下取整与上取整

对于任意实数 \(x\) ，我们定义 \(\lfloor x\rfloor\) 生成唯一整数 \(x'\) 使得 \(x'\le x\lt x'+1\)，\(\lceil x\rceil\) 生成唯一整数 \(x'\) 使得 \(x'-1\lt x\le x'\)

例如：

\(\lfloor 2.5\rfloor\) 生成 \(x'=2\) ，使得 \(x'\le 2.5\lt x'+1\)

\(\lfloor -2.5\rfloor\) 生成 \(x'=-3\) ，使得 \(x'\le -2.5\lt x'+1\)

\(\lceil 2.5\rceil\) 生成 \(x'=3\) ，使得 \(x'-1\lt 2.5\le x'\)

\(\lceil -2.5\rceil\) 生成 \(x'=-2\) ，使得 \(x'-1\lt -2.5\le x'\)

我们发现，对于整数的向零舍入，恰好用下取整便可以描述，而对于负数的向零舍入，我们需要上取整才可以描述

无符号除法

若一个无符号数除以 \(2^k\) ，则对其执行算术右移 \(k\) 个单位，所得二进制表示便是下取整的结果

例如：\(5=[0101]\) ，将其右移一位（除以 \(2^1\)），所得位表示为 \(2=[0010]\) ，我们发现这恰好变式下取整

对于无符号数值 \(x\) 和整数 \(k\) 而言，\(x\gg k=\lfloor x/2^k\rfloor\)

补码除法

对于补码的除法，我们需要在右移的过程中保证符号不变，因此必须执行算术右移

我们从一个例子出发，考虑对负数直接执行算术右移的操作后，其结果如何

如果我期望将 \(-5=[1011]\) 右移一位除以 \(2^1\) ，那么所得位表示为 \(-3=[1101]\)

我们发现，不论是逻辑右移还是算术右移，其结果都是下取整。这对于正数是合理的，但对于负数却不是我们希望的，我们需要一种办法将下取整转换为上取整

我们利用如下等式：

\[ \lceil x/y\rceil=\lfloor (x+y-1)/y \rfloor \]

例如，当 \(x=-30,\ y=4\) 时，\(\lceil -30/4\rceil=-7\) ，此时我们有 \(x+y-1=-27\) ，而 \(\lfloor (x+y-1)/y\rfloor=\lfloor-27/4\rfloor=-7\)

对于补码数 \(x\) 和整数 \(k\) 而言，\(x\gg k=\lceil x/2^k\rceil=\lfloor (x+2^k-1)/2^k \rfloor=(x+(1\ll k)-1)\gg k\)

到此为止，我们已经讨论了除以 \(2\) 的幂次的情况，但不幸的是，除法无法像乘法那样推广到除以任意常数 \(K\)。换句话说，对于任意常数 \(K\) ，我们无法将其简单地转为除以多个 \(2\) 的幂次相加的情况

你也许会想，任意一个数都可以分解为 \(2\) 的幂次，并且乘法与除法都满足分配律，为什么除法不能像乘法那样分解呢？

这里的问题在于，除法会有舍入的问题（而乘法不具有这种问题），如果将其简单的分解为多个数相除，那么小数的部分将会全部被舍去，这将会导致最终的结果与我们所预期的相差过大

浮点数

表示

所有二进制小数均可以表示成以下形式：

\[ b_m\ b_{m-1}\ b_{m-2}\ \cdots \ b_{2}\ b_{1}\ b_{0}\ .\ b_{-1}\ b_{-2}\ b_{-3}\ \cdots\ b_{-(n-1)}\ b_{n} \]

数学定义如下：

\[ b=\sum_{i=-n}^{m}b_i\times 2^i \]

基于此，我们给出 \(\rm IEEE\) 浮点标准：

浮点数表示为：\(V=(-1)^s\times M\times 2^E\)

• 符号 (sign) \(s\) 用于决定该数为正数 \(s=0\) 还是负数 \(s=1\)
  • 单精度为 \(31\) 位，双精度为 \(63\) 位
• 尾数 (significand) \(M\) 是一个二进制小数，范围为 \(0\sim 1-\epsilon\) (denormal) 或 \(1\sim 2-\epsilon\) (normal)
  • 单精度为 \(22\sim 0\) 位，双精度为 \(51\sim 0\)
• 阶码 (exponent) \(E\) 用于对浮点数加权
  • 单精度为 \(30\sim 23\) 位，双精度为 \(62\sim 52\)

下面我们以单精度为例，说明 \(\rm IEEE\) 的三种不同情况：

Normal

当 exp 位表示不全为零（数值为零）也不全为一（单精度为 \(255\)，双精度为 \(2047\)）时，属于此种情况

此时阶码值 \(E=e-Bias\) ，其中 \(e\) 为 exp 的无符号位表示，即 \(e_{k-1}e_{k-2}\cdots e_1e_0\) ，而 \(Bias\) 的值为 \(2^{k-1}-1\)（单精度为 \(127\) ，双精度为 \(1023\)）

此时，单精度 \(E\) 的范围为 \(-126\sim 127\) ，双精度 \(E\) 的范围为 \(-1022\sim 1023\)

此时 frac 字段的位表示用于描述小数值 \(f\)，二进制表示为 \(0.f_{n-1}f_{n-2}\cdots f_{1}f_{0}\) ，而尾数 \(M\) 的值为 \(1+f\)（采用此种表示可以额外获取一位的精度）

Denormal

当 exp 的位表示全为零时为此种情况，此时阶码值 \(E=1-Bias\)（这是特殊规定的，而不是 \(-Bias\)），而尾数 \(M\) 的值为 \(M=f\)（此时开头不包含隐含的 \(1\)）

非规格数的作用是用于表示那些非常接近 \(0.0\) 的数，这被称为逐渐下溢 gradual underflow

INF & NaN

当 exp 字段全为一且 frac 字段全为零时，表示无穷大，分为正无穷大与负无穷大

当 exp 字段全为一且 frac 字段不全为零时，表示 \(NaN\) Not a Number

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范围

Description	exp	frac	float	double
0	00...00	00...00	\(0/0.0\)	\(0/0.0\)
\(Denormal_{min}\)	00...00	00...01	\(2^{-23}\times 2^{-126}/1.4\times 10^{-45}\)	\(2^{-52}\times 2^{-1022}/4.9\times 2^{-324}\)
\(Denormal_{max}\)	00...00	11...11	\((1-\epsilon)\times 2^{-126}/1.2\times 10^{-38}\)	\((1-\epsilon)\times 2^{-1022}/2.2\times 10^{-308}\)
\(Normal_{min}\)	00...01	00...00	\(1\times 2^{-126}/1.2\times 2^{-38}\)	\(1\times 2^{-1022}/2.2\times 2^{-308}\)
\(1\)	01...11	00...00	\(1\times 2^{0}/1.0\)	\(1\times 2^{0}/1.0\)
\(normal_{max}\)	11...10	11...11	\((2-\epsilon)\times 2^{127}/3.4\times 10^{38}\)	\((2-\epsilon)\times 2^{1023}/1.8\times 10^{308}\)

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舍入

\(\rm IEEE\) 定义了四种舍入方式，分别如下：

向上舍入

将正数与负数均向上舍入，得到值 \(x^{+}\) ，使得 \(x^{+}\ge x\)

正数	负数
\(round(1.4)=2\\round(1.6)=2\\round(1.5)=2\)	\(round(-1.4)=-1\\round(-1.6)=-1\\round(-1.5)=-1\)

向下舍入

将正数与负数均向下舍入，得到值 \(x^{-}\) ，使得 \(x^{-}\le x\)

正数	负数
\(round(1.4)=1\\round(1.6)=1\\round(1.5)=1\)	\(round(-1.4)=-2\\round(-1.6)=-2\\round(-1.5)=-2\)

向零舍入

将正数向下舍入，负数向上舍入

正数	负数
\(round(1.4)=1\\round(1.6)=1\\round(1.5)=1\)	\(round(-1.4)=-1\\round(-1.6)=-1\\round(-1.5)=-1\)

不难发现，相当于直接去掉小数位

向偶数舍入

将数字向上或向下舍入，使得最低有效位为偶数

对于十进制小数而言，小于 \(0.5\) 的均向下舍入，大于 \(0.5\) 的均向上舍入

对于等于 \(0.5\) 的数，考虑在原先的基础上加上或减去 \(0.5\) ，最终结果取偶数

具体来说，\(1.5\) 加上或减去 \(0.5\) ，得到 \(1\) 或 \(2\) ，我们取偶数 \(2\)

对于二进制小数而言，小数点后所有小于 \(0.10\cdots 0\) 的向下舍入，所有大于 \(0.10\cdots 0\) 的向上舍入

对于等于 \(0.10\cdots 0\) 的数，考虑在原先的基础上加上或减去 \(0.10\cdots 0\) ，最终结果取偶数

具体来说，\(10.100\) 可以得到 \(11\) 与 \(10\) ，在这里取 \(10\)

上面的讨论均是以舍入到整数，如果是舍入到小数点后的情况，也是同理

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浮点运算

我们定义浮点数加法 \(x+^{f}y=Round(x+y)\)

由于浮点数溢出和舍入，因此浮点数加法是可交换的但不可结合的，也就是只满足 \(x+^{f}y=y+^{f}x\)

例如，使用 float 计算 \((3.14+1e10)-1e10\) 会得到 \(0\) ，但计算 \(3.14+(1e10-1e10)\) 会得到 \(3.14\)

其次，除了 \(NaN\) 和 \(\infin\) ，其余的浮点数值均存在逆元，即 \(x+^{f}(-x)=0\)

另一方面，浮点数满足单调性，即对于任意的 \(x\) ，如果 \(a\ge b\) ，那么有 \(a+x\ge b+x\) ，而无符号数与补码数均不具有此属性

我们定义浮点数乘法 \(x*^{f}y=Round(x\times y)\)

同样由于浮点数的舍入与溢出，乘法只具有交换性而不具有结合性，并且乘法也不具有分配性

例如，使用 float 计算 \(1e20*(1e20-1e20)\) 会得到 \(0\) ，但计算 \(1e20*1e20-1e20*1e20\) 会得到 \(NaN\)

另一方面，浮点数的乘法满足单调性，即：

\[ a\ge b,c\ge 0\rightarrow a*^{f}c\ge b^{f}c\\ a\ge b,c\le 0\rightarrow a*^{f}c\le b^{f}c \]

此外，如果保证 \(x\ne NaN\) ，那么有：\(x*^{f}x\ge 0\)

同样，无符号数与补码数并不具有这些特点

类型转换

• 当 float 或 int 转 double 时，由于 double 具有更大的精度，因此不会发生溢出或舍入
• 当 int 转 folat 时，会发生舍入但不会发生溢出
• 当 double 转 folat 时，由于精度问题，会发生舍入与溢出（溢出到 \(\infin\)）
• 当 float 或 double 转 int 时，值会发生向零舍入，即正数向下舍入负数向上舍入